Теоретическая часть
Сразу стоит предупредить, для полного понимания нижеизложенного материала необходимо знать основы теории вероятностей, интегралы, логарифмы, тригонометрию и, естественно, элементарную алгебру и арифметику.
Итак, основной формулой в расчете является формула Бернулли, которая позволит нам найти вероятность попадания заданного количества дробинок, зная вероятность попадания только одной дробинки.
Следовательно, все что нам нужно, это вывести формулу вероятности попадания одной дробинки по рассматриваемой области (будем называть её хитбоксом), в нашем случае это прямоугольник с закругленными верхней и нижней стороной.
Для начала необходимо понять как распределяется дробь по кругу разброса. Изначально я думал, что дробь распределяется равномерно по всей площади круга, в таком случае вся вероятность выражалась бы очень просто через отношение площади хитбокса к площади круга, но составив расчет через такую формулу, я обнаружил, что графики не совпадают с реальностью, тогда после длительного и безрезультатного поиска ошибки, в очередной раз стреляя по мишеням на полигоне, я случайно заметил, что основная масса дроби концентрируется ближе к центру круга.
В итоге, проанализировав кучу скриншотов со следами дробинок на стенке, я пришел к выводу, что дробь распределяется равномерно, но не пространственно, а радиально. То есть, если провести линию радиуса круга разброса, разделить ее на несколько равных частей и составить из этих полученных участков кольца, то каждое кольцо будет иметь одинаковую вероятность попадания
q (равную отношению ширины кольца
z к радиусу круга разброса
R), при этом, чем кольцо дальше от центра, тем большую площадь оно имеет. Таким образом большинство дробинок концентрируется именно в центре круга разброса.
Из этого вытекает необходимость использования интегралов при выводе формулы.
Теперь можно прейти непосредственно к расчетам.
Первый случай, когда радиус круга разброса меньше, чем размеры хитбокса (
R<l)
На рисунке показана верхняя половина хитбокса (черный контур) и половина круга разброса (красный круг) с радиусом
R. Подсчитаем вероятность для половины хитбокса, а потом умножим результат на 2.
Разделим хитбокс на две области, зеленую и синюю. Зеленая область - это круг радиусом
r, подсчитать его вероятность не вызывает проблем, она равна
r/R. Синяя область - это часть хитбокса, которая лежит между зеленым и красным кругом, чтобы подсчитать ее вероятность, разделим всю часть на участки элементарных колец толщиной
dx. Каждое такое кольцо содержит в себе элементарную вероятность
dq. Тогда вся вероятность будет равна
q=Sdq.
Второй случай, когда радиус круга разброса больше, чем размеры хитбокса (
R>l)
В этом случае расчет аналогичен прошлому пункту, только верхним пределом интегрирования теперь является
l
Итак, мы вывели формулу для подсчета вероятности попадания одной дробинки, теперь, с помощью формулы Бернулли, нужно подсчитать вероятность для всей дроби.
